Pour envoyer depuis votre compte Gmail tout en conservant votre compte email affiché lors d'envoi : prenom@votredomaine.fr, vous devez faire ceci depuis la console gmail : paramètres/comptes et importation/'Envoyer des e-mails en tant que'.
Ensuite, vous devez configurer cPanel pour utiliser vos comptes emails par l'intermédiaire de gmail, voyez notre plugin de configuration automatique : Remote MX Wizard, il se trouve dans votre cPanel, section Emails puis Remote MX Wizard. Configurez le domaine souhaité.

En manuel et pour Gsuite /ex : vous référer à le documentation du fournisseur en premier lieu
Depuis votre cPanel, dans la section Domaines : 'Zone Editor', vous pouvez modifier ici le SPF, et le MX.
(Pour faire des modifications propres, la recommandation est de le faire par cPanel/section Domaine/Zone editor OU par la section Mails puis 'Email Deliverability' en personnalisant le SPF, et vous pourrez ajouter des IP, MX, include, etc... puis cliquez en bas 'mise à jour')

SPF :
Selon que vous utilisez un prestataire externe pour vos mails, vous pouvez avoir besoin de modifier votre entrée existante SPF (TXT v=spf1...)

MX :
La priorité marche avec 0, si vous voulez passer en externe, ajoutez la nouvel entrée avec priorité 0, l'entrée que vous avez par défaut devra au minimum avoir la priorité 10-20-30 etc....

Routage des emails dans la section Email de votre cPanel, vous devez normalement mettre : 'serveur de messagerie distant'

Pour tester votre SPF et DKIM, utilisez ce site :
https://www.port25.com/authentication-checker/ 
Envoyez un mail de test depuis le compte email que vous voulez tester :

Si votre mail est : monmail@mail.com

Vous devez envoyer le test mail de cette façon : check-auth-monmail=mail.com@verifier.port25.com
Vous recevrez le rapport sur cet email, ce qui compte c'est 'pass' pour le SPF et DKIM, ignorez le reste...

Problèmes connus avec des anciennes versions Prestashop et PHP avec Gmail

C'est parce que, avant la version Prestashop version 1.6.1.5, il utilise un
Ancienne version de SwiftMailer. Cela provoque Socket Error avec gmail smtp.

Le correctif - upgrade prestashop OU upgrade swiftmailer (avec ce module gratuit):
Https://www.prestashop.com/forums/topic/519767-free-module-swiftmailer-upgrader-version-541/ 

Ce correctif a fonctionné par exemple pour prestashop 1.6.0.8 avec PHP 5.6